Das Pointcaré-Abenteuer. Ein mathematisches Welträtsel wird gelöst

George G. Szpiro, Thomas Bertram


Homöomorph zur dreidimensionalen Sphäre

Keine Frage: Wird ein mathematisches Jahrhundertproblem gelöst, geht das um die Welt. Ist der Problemlöser noch dazu ein idealistischer Eigenbrötler, der sich aus Prinzip weder Haare noch Nägel schneidet, Autos ebenso verweigert wie allzu intensiven Kontakt mit der Kollegenschaft, in einem St. Petersburger Hochhaus mit seiner Mutter wohnt und die Fields-Medaille – die wichtigste Auszeichnung auf dem Gebiet der Mathematik – nicht einmal will, wenn sie ihm mit der Post zugeschickt wird, ist das mindestens ein Buch wert. Nach Donal O'Sheas "Poincarés Vermutung" (2007) ist nun auch Georges G. Szpiros Darlegung der Ereignisse, die zur Entstehung und der letztendlichen Lösung des berühmten Problems durch den russischen Mathematiker Grigori Perelman führten, auf Deutsch erschienen.
Die Poincaré-Vermutung ist eines jener sieben Millenniumsprobleme, für deren Lösung das Clay Mathematics Institute im Jahr 2000 ein Preisgeld von einer Million US-Dollar ausgesetzt hatte. Doch was genau hat rund hundert Jahre die Community auf Trab gehalten und zahlreiche Mathematiker und Mathematikerinnen um ihren wohlverdienten Schlaf gebracht? Eine der möglichen Formulierungen der Poincaré-Vermutung lautet: Jede einfach zusammenhängende, kompakte, dreidimensionale Mannigfaltigkeit ohne Rand ist homöomorph zur dreidimensionalen Sphäre. Die anschaulichere Variante von Szpiro: Man nehme Körper und spanne Gummibänder um sie herum.
Die Vermutung: Dreidimensionale Körper, deren sämtliche Gummibänder auf einen Punkt zusammengezogen werden können, können in eine Sphäre verwandelt werden. Man sieht: Allein das Problem zu erklären ist eine Herausforderung. Szpiro bewältigt sie grandios: Er argumentiert geschickt auf der Ebene der Anschauung. In der Topologie – das ist das mathematische Gebiet, zu dem die Poincaré-Vermutung gehört – geht das auch. Obwohl man sich dabei nicht in allzu trügerischer Sicherheit wiegen sollte. In jedem Fall hilfreich sind die möglichen Analogien zwischen topologischen Objekten und Backwaren beziehungsweise Geschirr aller Art. So soll der Mathematiker John Kelley einmal gesagt haben, ein Topologe sei jemand, der den Unterschied zwischen einem Donut und einer Kaffeetasse nicht kenne.
Szpiro macht von derlei Analogien reichlich Gebrauch. Doch eine Warnung vorweg: Man wird schneller zum Pawlow'schen Hund, als einem lieb ist. Bagel und Brezel lassen einem das Wasser im Mund zusammenlaufen. Aussagen wie "Ein Bagel ist ein dreidimensionales Objekt, wie wir leicht überprüfen können, wenn wir hineinbeißen" verbinden Gaumenfreuden mit Dimensionalität für immer. Das hat zumindest den Vorteil, dass, wenn es später um fünf, sieben oder mehr Dimensionen geht, man nur den genüsslichen Verzehr eines Bagels vor Augen hat und so der Geistesverwirrung entkommt, in die man ansonsten in derart hohen Dimensionen verfällt.
Bei aller Liebe zur Kulinarik vergisst Szpiro jedoch nicht, die wesentlichen Elemente der mathematischen Forschung zu vermitteln. Dazu gehört, dass ein einziges Gegenbeispiel genügt, um eine mathematische Behauptung zunichte zu machen. Er zeigt, wie ein Problem aus einem Bereich der Mathematik (der Topologie) in einem anderen Bereich (der Differenzialgeometrie) seine Lösung finden kann. Und auch, wie in der Mathematik die Verifikation eines Beweises funktioniert und dass sie nicht immer einfach ist. Im Fall der Poincaré-Vermutung dauerte es drei volle Jahre, bis die Community von der Richtigkeit des Beweises überzeugt war. Und bis heute gibt es keine hundertprozentige Garantie, dass nicht doch noch ein gravierender Fehler gefunden wird.
All dies weiß Szpiro spannend zu erzählen, nicht zuletzt auch deshalb, weil er die Menschen in den Mittelpunkt stellt, die sich im Laufe des 20. Jahrhunderts mit dem Problem gequält haben. Denn die Geschichte der Poincaré-Vermutung ist eine Geschichte des Scheiterns. Tränen steigen in die Augen, wenn man liest, wie Mathematiker Jahrzehnte ihres Lebens ergebnislos an das Problem verschwendet haben. Wie sie hoffnungsfroh Beweise vorstellten, die dann von der Community gnadenlos zerfetzt wurden. Die Mathematiker werden von Szpiro dabei nicht gerade als Sympathieträger präsentiert: Mehrmals fällt das Wort "Inquisition", und es wird klar, dass man in der Mathematik entweder ein Star oder völlig unbedeutend ist.
Trotz der absolut mitreißenden Darstellung und der ganzen Dramatik rund um die Lösung dieses Jahrhundertproblems können sich Nichtfachleute einer Frage wohl kaum verwehren: Wen kratzt es? Szpiro lässt hier auch kritische Stimmen zu Wort kommen, wie den russischen Mathematiker Anatoli Werschik. Er ist sinngemäß davon überzeugt, dass außerhalb der Mathematik kein derartiger Rummel um den gelungenen Beweis der Poincaré-Vermutung entstanden wäre, wenn sie nicht zu den Millenniumsproblemen des Clay-Instituts gehören würde. Und vielleicht auch, wenn ein weniger medienwirksamer Mathematiker als Grigori Perelman sie bewiesen hätte. Denn was ist cooler als ein Mathematikstar, der die höchste Auszeichnung seiner Zunft ablehnt?

Martina Gröschl in FALTER 11/2008



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